Objetivo: Resolver y demostrar problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, separables, homogéneas, exactas, lineal y sus aplicaciones a la Meteorología.

Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de primer orden es una ecuación que relaciona una función desconocida $y (x)$ , su variable independiente $x$ , y su primera derivada $\frac{d y}{d x}$ (o $y^{'}$ ).

Tipo de EDO	Forma General
Separable	$d y/ d x = f ( x ) g ( y )$
Homogénea	$d y/ d x = f (y/x )$
Exacta	$M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0$ , donde $\partial M/ \partial y = \partial N/ \partial x $
Lineal	$d y d x + P (x) y = Q (x)$

Aplicación a la Meteorología: Ley de Enfriamiento de Newton

Esta ley, aunque a menudo se usa para objetos físicos, modela el proceso de cambio de temperatura del aire (o cualquier cuerpo) en función de la diferencia de temperatura con su entorno.

$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{m})$

Donde:

$T (t)$ : Temperatura del cuerpo (aire) en el tiempo $t$ .
$T_{m}$ : Temperatura del medio ambiente (constante).
$k$ : Coeficiente de enfriamiento (constante positiva).

Demostración y Solución (EDO Separable y Lineal)

Identificación: Es una EDO de primer orden separable y lineal a la vez.
Resolución (Usando Separación de Variables): $\frac{dT}{T-T_{m}}=-kdt$
Integración: $\int\frac{dT}{T-T_{m}}=\int-kdt$ -----> $ln\left|T-T_{m}\right|=-kt+C_{1}$
Solución General: $T-T_{m}=Ce^{-kt}$ ------> $T\left(t\right)=T_{m}+Ce^{-kt}$
Condición Inicial: Si en $t = 0$ , la temperatura inicial es $T_{0}$ , entonces: $T_{0}=T_{m}+Ce^{-k\left(0\right)}\Rightarrow C=T_{0}-T_{m}$

Solución Particular (Modelo Meteorológico):

$T\left(t\right)=T_{m}+(T_{0}-T_{m})e^{-kt}$

Ejemplo de Aplicación Sencilla (Meteorología): Un meteorólogo mide que la temperatura del aire en una capa alta es de

T_{0}

. La temperatura ambiente (o del aire circundante) es

T_{m}

. Suponiendo un coeficiente de enfriamiento

k = 0.2

por minuto, ¿cuál será la temperatura del aire después de 5 minutos?

Cálculo:

$T\left(t\right)=5+(10-5)e^{-0.2t}$ Para

t = 5

minutos:

$T\left(5\right)=5+(5)e^{-0.2\left(5\right)}$

$T\left(5\right)=5+(5)e^{-1}\approx 5+5\left(0.3679\right)$

$T\left(5\right)=5+1.8395=6.8395^{\circ}C$

El modelo predice que la temperatura del aire descenderá de

1 0° C

a aproximadamente

6.8 4° C

en 5 minutos, acercándose a la temperatura ambiente de

5° C

Para complementar un

poco lo que es la aplicación de las ED en otros campos te dejo el siguiente video:

Otro problema de aplicación de las ED:

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden. Ley de Enfriamiento/Calentamiento de Newton. Se coloca un objeto cuya temperatura se desconoce en un cuarto que tiene una temperatura constante de 20 °C. Después de 15 minutos la temperatura del objeto es de 8 °C y a los 30 minutos es de 14 °C. Halle la temperatura inicial del objeto.

Por último te dejo este video:

Ecuaciones Diferenciales y El Clima

lunes, 13 de octubre de 2025

Resolucion de Problemas con ED aplicados a la Meteorología

Aplicación a la Meteorología: Ley de Enfriamiento de Newton

Demostración y Solución (EDO Separable y Lineal)

Ecuaciones Diferenciales y El Clima

No hay comentarios:

Publicar un comentario