¡El misterio de los números!

Aprendemos el Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor de forma fácil

¡Hola, supermatemáticos! Hoy nos vamos a convertir en detectives. Vamos a descubrir dos herramientas secretas que usan las matemáticas para resolver misiones de la vida real: el m.c.m. y el M.C.D.

No te asustes por los nombres largos, ¡verás que es tan divertido como un juego de mesa!

🐸 1. El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)

Imagínate que el m.c.m. es como una carrera de saltos en la que dos o más amiguitos quieren encontrarse exactamente en la misma piedra.

¿Qué significa? Es el número más pequeño (mínimo) que tienen en común dos o más números cuando contamos de tanto en tanto (sus múltiplos).

🕵️‍♂️ El reto de la Rana y el Grillo

Una rana salta de 3 en 3 páginas de un cuaderno y un grillo salta de 4 en 4. Si los dos salen desde el punto cero... ¿En qué página se volverán a encontrar por primera vez?

• Saltos de la rana: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24...
• Saltos del grillo: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...

Si miras las dos listas, ¡coinciden en la página 12 y en la 24! Pero como buscamos el Mínimo (el primero de todos), elegimos el 12.

¡Así de fácil! El m.c.m. de 3 y 4 es 12.

🍬 2. El Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Ahora imagina que tienes una bolsa llena de golosinas y juguetes y quieres repartirlos en bolsas más pequeñas para tus amigos, pero sin que sobre ninguno y que todos tengan la misma cantidad.

¿Qué significa? Es el número más grande (máximo) que puede dividir a otros números de forma exacta (¡justo y sin dejar residuos!).

🕵️‍♀️ El reto de las bolsas de sorpresas

Tienes 12 chocolates y 18 gomas de borrar. Quieres armar el mayor número de bolsas sorpresa iguales. ¿Cuántas bolsas puedes hacer?

Buscamos los números que dividen de forma exacta al 12 y al 18:

• Divisores de 12: 1, 2,

Matemática Financiera: Interés Compuesto

Nombre y Apellido: ___________________________

Cédula de Identidad: ___________________

Resolución: Módulo 3 y 4 - Matemática Financiera

Evaluación Desarrollo Paso a Paso — Interés Compuesto

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Ejercicio 1

Enunciado: ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 125.000 € al 15% para que con interés compuesto se convierta en 180.000.000 €?

1. Identificación de Datos:

• Capital inicial (C) = 125.000 €
• Monto o valor futuro (M) = 180.000.000 €
• Tasa de interés (i) = 15% anual = 0,15

2. Fórmula Fundamental (Despeje del tiempo mediante logaritmos):

t = ln(M / C) / ln(1 + i)

3. Desarrollo Analítico Paso a Paso:

1. Calculamos el factor de rentabilidad o cociente entre el monto y el capital:
   M / C = 180.000.000 / 125.000 = 1.440
2. Sustituimos el factor obtenido y la tasa en la fórmula:
   t = ln(1.440) / ln(1 + 0,15) = ln(1.440) / ln(1,15)
3. Evaluamos los logaritmos naturales correspondientes:
   ln(1.440) ≈ 7,272398 y ln(1,15) ≈ 0,139762
4. Efectuamos la división para aislar la variable temporal:
   t = 7,272398 / 0,139762 = 52,0342 años

Conclusión: El capital debe imponerse durante aproximadamente 52,03 años (equivalente a 52 años y 12 días).

Ejercicio 2

Enunciado: ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 3.451.326 € al 8% para que con interés compuesto se convierta en 26.356.126 €?

1. Identificación de Datos:

• Capital inicial (C) = 3.451.326 €
• Monto o valor futuro (M) = 26.356.126 €
• Tasa de interés (i) = 8% anual = 0,08

2. Fórmula Fundamental:

t = ln(M / C) / ln(1 + i)

3. Desarrollo Analítico Paso a Paso:

1. Calculamos la proporción de incremento financiero:
   M / C = 26.356.126 / 3.451.326 ≈ 7,636520
2. Planteamos los términos logarítmicos:
   t = ln(7,636520) / ln(1,08)
3. Buscamos los valores en tablas o calculadora:
   ln(7,636520) ≈ 2,032934 y ln(1,08) ≈ 0,076961
4. Dividimos para hallar la duración final del periodo:
   t = 2,032934 / 0,076961 ≈ 26,4151 años

Conclusión: El tiempo requerido para devengar dicho monto es de aproximadamente 26,42 años.

Ejercicio 3

Enunciado: Se prestan 3.245.000 € con interés compuesto y al cabo de 12 años se reciben 9.252.488 €. Calcular la tasa de interés.

1. Identificación de Datos:

• Capital inicial (C) = 3.245.000 €
• Monto final (M) = 9.252.488 €
• Tiempo total (t) = 12 años

2. Fórmula Fundamental (Despeje del rendimiento implícito i):

i = (M / C)^(1 / t) - 1

3. Desarrollo Analítico Paso a Paso:

1. Obtenemos el factor multiplicador base:
   M / C = 9.252.488 / 3.245.000 ≈ 2,851306
2. Extraemos la raíz de índice 12 correspondiente a los 12 años transcurridos:
   (2,851306)^(1 / 12) ≈ 1,091000
3. Restamos la unidad para obtener el valor decimal puro de la tasa:
   i = 1,091000 - 1 = 0,091
4. Multiplicamos por 100 para expresarlo bajo notación porcentual convencional:
   i = 0,091 × 100 = 9,1%

Conclusión: La tasa de interés compuesta aplicada contractualmente al préstamo es del 9,10% anual.

Ejercicio 4

Enunciado: Se prestan 245.000 € con interés compuesto y al cabo de 2 años se reciben 252.488 €. Calcular la tasa de interés.
*Nota metodológica: Se omite la errata tipográfica del punto flotante en el texto base de origen para resguardar la proporcionalidad en la ecuación de valor.

1. Identificación de Datos:

• Capital inicial (C) = 245.000 €
• Monto final (M) = 252.488 €
• Tiempo total (t) = 2 años

2. Fórmula Fundamental:

i = (M / C)^(1 / t) - 1

3. Desarrollo Analítico Paso a Paso:

1. Dividimos el retorno total acumulado sobre el capital de origen:
   M / C = 252.488 / 245.000 ≈ 1,030563
2. Extraemos la raíz cuadrada dado que la maduración ocurrió en 2 periodos anuales:
   (1,030563)^(1 / 2) ≈ 1,015166
3. Aislamos la tasa periódica removiendo la unidad:
   i = 1,015166 - 1 = 0,015166
4. Convertimos al multiplicador centesimal tradicional:
   i = 0,015166 × 100 ≈ 1,5166%

Conclusión: La tasa de interés compuesta calculada es de aproximadamente 1,52% anual.

Resuelva la integral § x²*e^x*dx definida entre 0 y 1

Resolución Paso a Paso de la Integral

A continuación, resolvemos detalladamente la integral definida que planteamo utilizando el método de Integración por Partes:

I = ∫₀¹ x² e^x dx

1. Primera Aplicación de Integración por Partes

Aplicamos la fórmula clásica ∫ u dv = u v − ∫ v du. Utilizando la regla ILATE, elegimos los términos algebraicos antes que los exponenciales:

u = x²   →   du = 2x dx
dv = e^x dx   →   v = e^x

Sustituyendo en la fórmula, obtenemos:

∫ x² e^x dx = x² e^x − 2 ∫ x e^x dx

2. Segunda Aplicación de Integración por Partes

Para resolver la integral restante ∫ x e^x dx, repetimos el método:

u = x   →   du = dx
dv = e^x dx   →   v = e^x

Esto nos da como resultado:

∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x

3. Integral Indefinida Unificada

Agrupamos ambos resultados en nuestra ecuación original y factorizamos por el término común e^x:

∫ x² e^x dx = x² e^x − 2(x e^x − e^x) = e^x (x² − 2x + 2)

4. Evaluación de Límites (Teorema Fundamental del Cálculo)

Evaluamos la función resultante en el límite superior (1) y restamos la evaluación en el límite inferior (0):

• Límite Superior (x = 1): e¹ (1² − 2(1) + 2) = e · (1) = e
• Límite Inferior (x = 0): e⁰ (0² − 2(0) + 2) = 1 · (2) = 2

Resultado Analítico Exacto:

I = e − 2

Dado que la constante e ≈ 2.7183, el valor numérico aproximado es 0.7183. !