ACADEMIA PI: ED Ordinarias, separables, homogénea, exactas, lineal

Primero, recordamos algunas cosas del último post sobre Ecuaciones Diferenciales (ED)

Repaso:

¿Qué es una ED?

Una ED es una ecuación que relaciona una función incógnita, sus variables independientes y sus derivadas.

Clasificación: ED ordinarias (EDO) vs ED Parciales (EDP)

EDO: contiene solo derivadas respecto a una única variable independiente. Ejemplo: y´+ 2y = sen (x)

EDP: contiene derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes. Ejemplo: $\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

EDO de primer orden

Por ahora se discutirá las EDO de primer orden que solo contienen la primera derivada de la función incógnita, y'. Se pueden expresar en la forma:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)$ o M(x, y)dx + N(x, y) = 0

ED de Variables Separables

Una EDO es separable si se puede reescribir de la forma g(y)dy = f(x)dx

Para resolver este tipo de ED, se integra ambos lados de la ecuación: $\int g(y)dy=\int f(x)dx$

Ejemplo: Resuelva la EDO: $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3x^{2}}{y^{2}}$

Separamos las variables: $y^{2}dy=3x^{2}dx$

Luego, integramos a ambos lados: $\int y^{2}dy=\int 3x^{2}dx$

Así obtenemos la solución general: $\frac{y^{3}}{3}=x^{3}+C\Rightarrow y^{3}=3x^{3}+K$

ED Homogéneas

Una EDO es homogénea si se puede escribir en la forma: $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{y}{x}\right)$ donde f(x, y) es una función homogénea de grado cero, lo que significa que $f\left(tx,ty\right)=t^{0}f\left(x,y\right)=f\left(x,y\right)$ .

Para resolver este tipo de ED se usa la sustitución $v=\frac{y}{x}$ , lo que implica $y=vx$ y $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ . Esta sustitución transforma a la ecuación homogénea en una separable en las variables x y v.

Ejemplo: Resuelva la EDO $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^{2}+xy}{x^{2}}$

Primero verifica si es homogénea: $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{(ty)^{2}+tx\ast ty}{(tx)^{2}}=\frac{t^{2}y^{2}+t^{2}xy}{t^{2}x^{2}}=\frac{t^{2}\left(y^{2}+xy\right)}{t^{2}x^{2}}=\frac{y^{2}+xy}{x^{2}}$

(haciendo la sustitución f(tx, ty) = f(x, y))

Por lo tanto, la ecuación es una ED homogénea.

También se puede verificar de la siguiente manera: $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^{2}+xy}{x^{2}}=\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{xy}{x^{2}}=\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+\frac{y}{x}$

Luego procedemos a realizar la sustitución: $v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=v^{2}+v$

Ahora realizamos la separación de variables: $x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=v^{2}\Rightarrow\frac{dv}{v^{2}}=\frac{dx}{x}$

Luego de separar variables, se procede a integrar en ambos lados: $\int\frac{dv}{v^{2}}=\int\frac{dx}{x}\Rightarrow-\frac{1}{v}=ln\left|x\right|+C$

Por último, volvemos a la variable original y: $-\frac{x}{y}=ln\left|x\right|+C\Rightarrow y=-\frac{x}{ln\left|x\right|+C}$

ED Exactas

Una EDO de la forma M(x, y)dx + N(x, y) = 0 es exacta si existe una función F(x, y) tal que

dF = Mdx + Ndy

Criterio de Exactitud: La ecuación es exacta si y solo si sus derivadas parciales cruzadas son iguales:

$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

Método de solución:

1) Verificar el criterio.

2) Integrar M(x, y) con respecto a x: $F(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)$

3) Derivar F(x, y) con respecto a y e igualar a N(x, y) para encontrar g´(y)

4) Integrar g´(y) para encontrar g(y)

5) La solución es F(x, y) = C

Ejemplo: Resuelva $\left(2xy+1\right)dx+\left(x^{2}-4y\right)dy=0$

Dónde $M(x,y)=2x+1$ y $N(x,y)=x^{2}-4y$

Aplicamos el criterio: $\frac{\partial M}{\partial y}=2x$ , $\frac{\partial N}{\partial x}=2x$ . Son iguales, es exacta.

Ya conocemos que es exacta, se procede a integrar a M(x, y) con respecto a x: $F(x,y)=\int(2x+1)dx+g(y)=x^{2}y+x+g(y)$

Teniendo a F, se procede a derivar F(x, y) con respecto a y: $\frac{\partial F}{\partial y}=x^{2}+g'(y)$ .

Se iguala a N: $x^{2}+g'(y)=x^{2}-4y\Rightarrow g'(y)=-4y$

Ahora, se integra g´(y) para obtener g(y): $g(y)=\int-4ydy=-2y^{2}+C_{1}$

Por último, se obtiene la solución, la cual es: $x^{2}y+x-2y^{2}=C$

ED Lineales de Primer Orden

Una EDO de primer orden es lineal si se puede escribir de la forma: $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)$

Método de solución (Factor integrante):

1) Calcular el Factor Integrante $\mu(x)$ : $\mu(x)=e^{\int P\left(x\right)dx}$

2) Multiplicar toda la ED por $\mu(x)$ : $\mu(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\mu\left(x\right)P\left(x\right)y=\mu\left(x\right)Q\left(x\right)$

3) El lado izquierdo es la derivada de un producto: $\frac{\mathrm{d}\left[\mu\left(x\right)y\right]}{\mathrm{d}x}=\mu\left(x\right)Q\left(x\right)$

4) Integrar y despejar y: $\mu\left(x\right)y=\int\mu\left(x\right)Q\left(x\right)dx+C$ , $y=\frac{1}{\mu\left(x\right)}\left[\int\mu\left(x\right)Q\left(x\right)dx+C\right]$