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lunes, 13 de octubre de 2025

Resolucion de Problemas con ED aplicados a la Meteorología

Objetivo: Resolver y demostrar problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, separables, homogéneas, exactas, lineal y sus aplicaciones a la Meteorología.

Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de primer orden es una ecuación que relaciona una función desconocida $y (x)$ , su variable independiente $x$ , y su primera derivada $\frac{d y}{d x}$ (o $y^{'}$ ).

Tipo de EDO	Forma General
Separable	$d y/ d x = f ( x ) g ( y )$
Homogénea	$d y/ d x = f (y/x )$
Exacta	$M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0$ , donde $\partial M/ \partial y = \partial N/ \partial x $
Lineal	$d y d x + P (x) y = Q (x)$

Aplicación a la Meteorología: Ley de Enfriamiento de Newton

Esta ley, aunque a menudo se usa para objetos físicos, modela el proceso de cambio de temperatura del aire (o cualquier cuerpo) en función de la diferencia de temperatura con su entorno.

$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{m})$

Donde:

$T (t)$ : Temperatura del cuerpo (aire) en el tiempo $t$ .
$T_{m}$ : Temperatura del medio ambiente (constante).
$k$ : Coeficiente de enfriamiento (constante positiva).

Demostración y Solución (EDO Separable y Lineal)

Identificación: Es una EDO de primer orden separable y lineal a la vez.
Resolución (Usando Separación de Variables): $\frac{dT}{T-T_{m}}=-kdt$
Integración: $\int\frac{dT}{T-T_{m}}=\int-kdt$ -----> $ln\left|T-T_{m}\right|=-kt+C_{1}$
Solución General: $T-T_{m}=Ce^{-kt}$ ------> $T\left(t\right)=T_{m}+Ce^{-kt}$
Condición Inicial: Si en $t = 0$ , la temperatura inicial es $T_{0}$ , entonces: $T_{0}=T_{m}+Ce^{-k\left(0\right)}\Rightarrow C=T_{0}-T_{m}$

Solución Particular (Modelo Meteorológico):

$T\left(t\right)=T_{m}+(T_{0}-T_{m})e^{-kt}$

Ejemplo de Aplicación Sencilla (Meteorología): Un meteorólogo mide que la temperatura del aire en una capa alta es de

T_{0}

. La temperatura ambiente (o del aire circundante) es

T_{m}

. Suponiendo un coeficiente de enfriamiento

k = 0.2

por minuto, ¿cuál será la temperatura del aire después de 5 minutos?

Cálculo:

$T\left(t\right)=5+(10-5)e^{-0.2t}$ Para

t = 5

minutos:

$T\left(5\right)=5+(5)e^{-0.2\left(5\right)}$

$T\left(5\right)=5+(5)e^{-1}\approx 5+5\left(0.3679\right)$

$T\left(5\right)=5+1.8395=6.8395^{\circ}C$

El modelo predice que la temperatura del aire descenderá de

1 0° C

a aproximadamente

6.8 4° C

en 5 minutos, acercándose a la temperatura ambiente de

5° C

Para complementar un

poco lo que es la aplicación de las ED en otros campos te dejo el siguiente video:

Otro problema de aplicación de las ED:

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden. Ley de Enfriamiento/Calentamiento de Newton. Se coloca un objeto cuya temperatura se desconoce en un cuarto que tiene una temperatura constante de 20 °C. Después de 15 minutos la temperatura del objeto es de 8 °C y a los 30 minutos es de 14 °C. Halle la temperatura inicial del objeto.

Por último te dejo este video:

Ecuaciones Diferenciales y El Clima

miércoles, 1 de octubre de 2025

HOJA DE TRABAJO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Muestre el procedimiento completo para cada ejercicio.

1) Clasificación: Clasifique la siguiente ecuación según su tipo (EDO/EDP), Orden, Grado y Linealidad (4pts)

Ecuación de Advección Unidimensional simplificada, que describe el transporte de una escalar $\phi$ (Ej. Humedad) en un campo de viento u constante.

$\frac{\partial\phi}{\partial t}+u\frac{\partial\phi}{\partial x}=0$

2) Identificación de no linealidad (1pto)

Explique por qué el termino $v\frac{\partial v}{\partial x}$ en la Ecuación momento x de Navier-Stokes (donde v es una componente de la velocidad y $\frac{\partial v}{\partial x}$ es un cizallamiento

$\frac{\partial v}{\partial t}+v\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x}+F_{x}$

3) Solución de Variables Separables

La ley de Enfriamiento de Newton modela como una parcela de aire (o un sensor meteorológico) con temperatura T se enfría en un ambiente con temperatura constante $T_{a}$

$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{a})$

donde k es una constante positiva. Resuelva la EDO utilizando el método de variables separables para encontrar la Solución General T(t) (4pts)

Si la temperatura inicial es T(0) = $T_{o}$ , encuentre la solución particular (2pts).

4) ¿Cuál es la principal diferencia entre una EDO y una EDP? Dé un ejemplo de aplicación atmosférica para cada una (3pts).

5) Clasifique la siguiente EDO (que aparece al analizar ciertas ondas en la atmósfera):

$\frac{d^{2}P}{dz^{2}}+k^{2}P=0$ (3ptos)

Orden: ____________________

Grado: ____________________

Linealidad: _________________

6) Resuelva la ED, por variables separables:

$\frac{dy}{dx}=y\cdot Cos(x)$ (3pts)

Ecuaciones Diferenciales (ED)

Ecuaciones Diferenciales (ED) de Primer Orden

Objetivo General: Estudiar las ecuaciones diferenciales de primer orden y sus distintos métodos de solución.

Objetivo Específico: Definir, tipo, orden, linealidad, grado y solución de una ED.

Contenido: ED y ejemplos.

¿Por qué son vitales las ED en Meteorología?

La atmósfera es un sistema dinámico donde variables como la temperatura, la presión y el viento cambian continuamente en el tiempo y el espacio.

Las EDs son el lenguaje matemático para describir y predecir estos cambios (Modelos Numéricos de Pronóstico).

Los modelos matemáticos se pueden pensar como ecuaciones.

Por ejemplo, considere un simple circuito de corriente directa, la ecuación V=R.I representa el modelo de la caída de voltaje (medida en Voltios) a través de una resistencia (medida en ohmios), dónde I es la corriente (medida en amperios). Esta ecuación se denomina Ley de Ohm, en honor a G. S. Ohm, físico alemán.

Una vez construidos, ciertos modelos se pueden usar para predecir muchas situaciones físicas. Por ejemplo, el pronóstico del tiempo, entre otros. Estos se pueden conectar con alguna forma de modelos matemáticos.

Definición de ED: Una ecuación que relaciona una función desconocida (ej. Temperatura T, presión P) con una o más derivadas (Tasas de Cambio). Ejemplo:

$dT/dt$ o $\frac{\partial u}{\partial x}$

Ejemplos:

1) $\frac{dy}{dx}=Cos x$

2) $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+k^{2}y=0$

3) $\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0$

4) $x\frac{\partial f}{\partial y}+y\frac{\partial f}{\partial x}=nf$

Variable Independiente (VI): cuando una ecuación contiene una o más derivadas con respecto a una variable particular, ésta variable es la VI.

Variable Dependiente (VD): es la variable que es derivada dentro de la ED.

Ejemplos:

a) $L\frac{d^{2}i}{t^{2}}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i=EwCoswt$ VI: t VD: i

b) $\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0$ VI: x e y VD: V

c) $\left(x^{2}+y^{2}\right)dx-2xydy=0$

Aquí no es tan evidente la VD y la VI, por tanto se consideran dos casos:

c1) $\left(x^{2}+y^{2}\right)\frac{dx}{dy}-2xy=0$ VI: y VD: x

c2) $x^{2}+y^{2}-2xy\frac{dy}{dx}=0$ VI: x VD: y

Clasificación de Ecuaciones diferenciales:

1) Tipo:

1.1) ED Ordinaria (EDO): si la función desconocida depende solamente de una variable independiente.

Ejemplo: $dT/dt$

Se usa para modelar la evolución de un punto (por ejemplo una parcela de aire).

$\frac{dT}{dt}=-k(T-T\;a)$

T(t): Temperatura de la parcela de aire (función desconocida) (°C ó °K) (VD: T)

t: Tiempo (VI) (s ó min)

$T_{a}$ : Temperatura ambiente circundante (constante o función del tiempo, pero a menudo se asume constante para la EDO) (°C ó °K)

k: Coeficiente de Transferencia de Calor (una constante positiva) ( $min^{-1}$ o $s^{-1}$ )

$\frac{dT}{dt}$ : Tasa de cambio instantáneo de la temperatura de la parcela (°C/min ó °K/s)

En meteorología esta EDO establece que la rapidez con la que cambia la temperatura de la parcela

( $dT/dt$ ) es proporcional a la diferencia de temperatura entre la parcela (T) y su entorno $T_{a}$ . Si T> $T_{a}$ (la parcela está más caliente), entonces $dT/dt$ es negativo, y la parcela se enfría. Si T< $T_{a}$ (la parcela está fría), entonces $dT/dt$ es positivo, y la parcela se calienta.

Solución: $T\left(t\right)=T_{a}+(T_{o}-T_{a})e^{-kt}$

$T_{o}$ : Temperatura inicial de la parcela en t = 0.

La solución muestra como la temperatura de la parcela de aire tiende asintóticamente a la temperatura ambiente $T_{a}$ con el tiempo.

1.2) ED Parcial (EDP): Dos o más variables independientes.

Ejemplo: $\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Se usa en la mayoría de los modelos atmosféricos (Navier-Stokes, Advección).

Rigen el movimiento y el transporte de propiedades en el aire (un fluido). La EDP de Navier-Stokes describen el movimiento de cualquier fluido newtoniano (como el aire y el agua). En meteorología, son la base de los modelos numéricos de predicción del tiempo (NWP).

2) Orden:

El orden de la derivada más alta que aparece.

Ejemplo:

a) Primer orden: $\frac{dP}{dz}=-\rho g$ (Ecuación de Hidrostática)

b) Segundo orden: $\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=C^{2}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}$ EDP de Ondas Gravitatorias (Lineal)

3) Linealidad: Una ED es lineal si la función desconocida y todas sus derivadas aparecen solo elevadas a la potencia 1 y no se multiplican entre si.

Ejemplo: Ley de enfriamiento de Newton:

$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{a})$ ó $\frac{dT}{dt}-kT=kT_{a}$

Es una ED lineal, las derivadas y la función T sólo están elevadas a la 1. No hay productos de la función T consigo misma ni con sus derivadas.

Ejemplo: Las Ecuaciones de Lorenz: son un sistema de tres ecuaciones EDO de primer orden, desarrolladas por el meteorólogo Edward Lorenz (1963) como un modelo simplificado de la convección atmosférica.

$\frac{dx}{dt}=\sigma(y-x)$