ACADEMIA PI: Ecuaciones Diferenciales (ED)

Ecuaciones Diferenciales (ED) de Primer Orden

Objetivo General: Estudiar las ecuaciones diferenciales de primer orden y sus distintos métodos de solución.

Objetivo Específico: Definir, tipo, orden, linealidad, grado y solución de una ED.

Contenido: ED y ejemplos.

¿Por qué son vitales las ED en Meteorología?

La atmósfera es un sistema dinámico donde variables como la temperatura, la presión y el viento cambian continuamente en el tiempo y el espacio.

Las EDs son el lenguaje matemático para describir y predecir estos cambios (Modelos Numéricos de Pronóstico).

Los modelos matemáticos se pueden pensar como ecuaciones.

Por ejemplo, considere un simple circuito de corriente directa, la ecuación V=R.I representa el modelo de la caída de voltaje (medida en Voltios) a través de una resistencia (medida en ohmios), dónde I es la corriente (medida en amperios). Esta ecuación se denomina Ley de Ohm, en honor a G. S. Ohm, físico alemán.

Una vez construidos, ciertos modelos se pueden usar para predecir muchas situaciones físicas. Por ejemplo, el pronóstico del tiempo, entre otros. Estos se pueden conectar con alguna forma de modelos matemáticos.

Definición de ED: Una ecuación que relaciona una función desconocida (ej. Temperatura T, presión P) con una o más derivadas (Tasas de Cambio). Ejemplo:

$dT/dt$ o $\frac{\partial u}{\partial x}$

Ejemplos:

1) $\frac{dy}{dx}=Cos x$

2) $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+k^{2}y=0$

3) $\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0$

4) $x\frac{\partial f}{\partial y}+y\frac{\partial f}{\partial x}=nf$

Variable Independiente (VI): cuando una ecuación contiene una o más derivadas con respecto a una variable particular, ésta variable es la VI.

Variable Dependiente (VD): es la variable que es derivada dentro de la ED.

Ejemplos:

a) $L\frac{d^{2}i}{t^{2}}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i=EwCoswt$ VI: t VD: i

b) $\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0$ VI: x e y VD: V

c) $\left(x^{2}+y^{2}\right)dx-2xydy=0$

Aquí no es tan evidente la VD y la VI, por tanto se consideran dos casos:

c1) $\left(x^{2}+y^{2}\right)\frac{dx}{dy}-2xy=0$ VI: y VD: x

c2) $x^{2}+y^{2}-2xy\frac{dy}{dx}=0$ VI: x VD: y

Clasificación de Ecuaciones diferenciales:

1) Tipo:

1.1) ED Ordinaria (EDO): si la función desconocida depende solamente de una variable independiente.

Ejemplo: $dT/dt$

Se usa para modelar la evolución de un punto (por ejemplo una parcela de aire).

$\frac{dT}{dt}=-k(T-T\;a)$

T(t): Temperatura de la parcela de aire (función desconocida) (°C ó °K) (VD: T)

t: Tiempo (VI) (s ó min)

$T_{a}$ : Temperatura ambiente circundante (constante o función del tiempo, pero a menudo se asume constante para la EDO) (°C ó °K)

k: Coeficiente de Transferencia de Calor (una constante positiva) ( $min^{-1}$ o $s^{-1}$ )

$\frac{dT}{dt}$ : Tasa de cambio instantáneo de la temperatura de la parcela (°C/min ó °K/s)

En meteorología esta EDO establece que la rapidez con la que cambia la temperatura de la parcela

( $dT/dt$ ) es proporcional a la diferencia de temperatura entre la parcela (T) y su entorno $T_{a}$ . Si T> $T_{a}$ (la parcela está más caliente), entonces $dT/dt$ es negativo, y la parcela se enfría. Si T< $T_{a}$ (la parcela está fría), entonces $dT/dt$ es positivo, y la parcela se calienta.

Solución: $T\left(t\right)=T_{a}+(T_{o}-T_{a})e^{-kt}$

$T_{o}$ : Temperatura inicial de la parcela en t = 0.

La solución muestra como la temperatura de la parcela de aire tiende asintóticamente a la temperatura ambiente $T_{a}$ con el tiempo.

1.2) ED Parcial (EDP): Dos o más variables independientes.

Ejemplo: $\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Se usa en la mayoría de los modelos atmosféricos (Navier-Stokes, Advección).

Rigen el movimiento y el transporte de propiedades en el aire (un fluido). La EDP de Navier-Stokes describen el movimiento de cualquier fluido newtoniano (como el aire y el agua). En meteorología, son la base de los modelos numéricos de predicción del tiempo (NWP).

2) Orden:

El orden de la derivada más alta que aparece.

Ejemplo:

a) Primer orden: $\frac{dP}{dz}=-\rho g$ (Ecuación de Hidrostática)

b) Segundo orden: $\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=C^{2}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}$ EDP de Ondas Gravitatorias (Lineal)

3) Linealidad: Una ED es lineal si la función desconocida y todas sus derivadas aparecen solo elevadas a la potencia 1 y no se multiplican entre si.

Ejemplo: Ley de enfriamiento de Newton:

$\frac{dT}{dt}=-k(T-T_{a})$ ó $\frac{dT}{dt}-kT=kT_{a}$

Es una ED lineal, las derivadas y la función T sólo están elevadas a la 1. No hay productos de la función T consigo misma ni con sus derivadas.

Ejemplo: Las Ecuaciones de Lorenz: son un sistema de tres ecuaciones EDO de primer orden, desarrolladas por el meteorólogo Edward Lorenz (1963) como un modelo simplificado de la convección atmosférica.

$\frac{dx}{dt}=\sigma(y-x)$