Matemática Financiera: Interés Compuesto

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Resolución: Módulo 3 y 4 - Matemática Financiera

Evaluación Desarrollo Paso a Paso — Interés Compuesto

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Ejercicio 1

Enunciado: ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 125.000 € al 15% para que con interés compuesto se convierta en 180.000.000 €?

1. Identificación de Datos:

• Capital inicial (C) = 125.000 €
• Monto o valor futuro (M) = 180.000.000 €
• Tasa de interés (i) = 15% anual = 0,15

2. Fórmula Fundamental (Despeje del tiempo mediante logaritmos):

t = ln(M / C) / ln(1 + i)

3. Desarrollo Analítico Paso a Paso:

1. Calculamos el factor de rentabilidad o cociente entre el monto y el capital:
   M / C = 180.000.000 / 125.000 = 1.440
2. Sustituimos el factor obtenido y la tasa en la fórmula:
   t = ln(1.440) / ln(1 + 0,15) = ln(1.440) / ln(1,15)
3. Evaluamos los logaritmos naturales correspondientes:
   ln(1.440) ≈ 7,272398 y ln(1,15) ≈ 0,139762
4. Efectuamos la división para aislar la variable temporal:
   t = 7,272398 / 0,139762 = 52,0342 años

Conclusión: El capital debe imponerse durante aproximadamente 52,03 años (equivalente a 52 años y 12 días).

Ejercicio 2

Enunciado: ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 3.451.326 € al 8% para que con interés compuesto se convierta en 26.356.126 €?

1. Identificación de Datos:

• Capital inicial (C) = 3.451.326 €
• Monto o valor futuro (M) = 26.356.126 €
• Tasa de interés (i) = 8% anual = 0,08

2. Fórmula Fundamental:

t = ln(M / C) / ln(1 + i)

3. Desarrollo Analítico Paso a Paso:

1. Calculamos la proporción de incremento financiero:
   M / C = 26.356.126 / 3.451.326 ≈ 7,636520
2. Planteamos los términos logarítmicos:
   t = ln(7,636520) / ln(1,08)
3. Buscamos los valores en tablas o calculadora:
   ln(7,636520) ≈ 2,032934 y ln(1,08) ≈ 0,076961
4. Dividimos para hallar la duración final del periodo:
   t = 2,032934 / 0,076961 ≈ 26,4151 años

Conclusión: El tiempo requerido para devengar dicho monto es de aproximadamente 26,42 años.

Ejercicio 3

Enunciado: Se prestan 3.245.000 € con interés compuesto y al cabo de 12 años se reciben 9.252.488 €. Calcular la tasa de interés.

1. Identificación de Datos:

• Capital inicial (C) = 3.245.000 €
• Monto final (M) = 9.252.488 €
• Tiempo total (t) = 12 años

2. Fórmula Fundamental (Despeje del rendimiento implícito i):

i = (M / C)^(1 / t) - 1

3. Desarrollo Analítico Paso a Paso:

1. Obtenemos el factor multiplicador base:
   M / C = 9.252.488 / 3.245.000 ≈ 2,851306
2. Extraemos la raíz de índice 12 correspondiente a los 12 años transcurridos:
   (2,851306)^(1 / 12) ≈ 1,091000
3. Restamos la unidad para obtener el valor decimal puro de la tasa:
   i = 1,091000 - 1 = 0,091
4. Multiplicamos por 100 para expresarlo bajo notación porcentual convencional:
   i = 0,091 × 100 = 9,1%

Conclusión: La tasa de interés compuesta aplicada contractualmente al préstamo es del 9,10% anual.

Ejercicio 4

Enunciado: Se prestan 245.000 € con interés compuesto y al cabo de 2 años se reciben 252.488 €. Calcular la tasa de interés.
*Nota metodológica: Se omite la errata tipográfica del punto flotante en el texto base de origen para resguardar la proporcionalidad en la ecuación de valor.

1. Identificación de Datos:

• Capital inicial (C) = 245.000 €
• Monto final (M) = 252.488 €
• Tiempo total (t) = 2 años

2. Fórmula Fundamental:

i = (M / C)^(1 / t) - 1

3. Desarrollo Analítico Paso a Paso:

1. Dividimos el retorno total acumulado sobre el capital de origen:
   M / C = 252.488 / 245.000 ≈ 1,030563
2. Extraemos la raíz cuadrada dado que la maduración ocurrió en 2 periodos anuales:
   (1,030563)^(1 / 2) ≈ 1,015166
3. Aislamos la tasa periódica removiendo la unidad:
   i = 1,015166 - 1 = 0,015166
4. Convertimos al multiplicador centesimal tradicional:
   i = 0,015166 × 100 ≈ 1,5166%

Conclusión: La tasa de interés compuesta calculada es de aproximadamente 1,52% anual.