Resuelva la integral § x²*e^x*dx definida entre 0 y 1

Resolución Paso a Paso de la Integral

A continuación, resolvemos detalladamente la integral definida que planteamo utilizando el método de Integración por Partes:

I = ∫₀¹ x² e^x dx

1. Primera Aplicación de Integración por Partes

Aplicamos la fórmula clásica ∫ u dv = u v − ∫ v du. Utilizando la regla ILATE, elegimos los términos algebraicos antes que los exponenciales:

u = x²   →   du = 2x dx
dv = e^x dx   →   v = e^x

Sustituyendo en la fórmula, obtenemos:

∫ x² e^x dx = x² e^x − 2 ∫ x e^x dx

2. Segunda Aplicación de Integración por Partes

Para resolver la integral restante ∫ x e^x dx, repetimos el método:

u = x   →   du = dx
dv = e^x dx   →   v = e^x

Esto nos da como resultado:

∫ x e^x dx = x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x

3. Integral Indefinida Unificada

Agrupamos ambos resultados en nuestra ecuación original y factorizamos por el término común e^x:

∫ x² e^x dx = x² e^x − 2(x e^x − e^x) = e^x (x² − 2x + 2)

4. Evaluación de Límites (Teorema Fundamental del Cálculo)

Evaluamos la función resultante en el límite superior (1) y restamos la evaluación en el límite inferior (0):

• Límite Superior (x = 1): e¹ (1² − 2(1) + 2) = e · (1) = e
• Límite Inferior (x = 0): e⁰ (0² − 2(0) + 2) = 1 · (2) = 2

Resultado Analítico Exacto:

I = e − 2

Dado que la constante e ≈ 2.7183, el valor numérico aproximado es 0.7183. !